KESİRLERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ

KESİRLERLE TOPLAMA İŞLEMİPaydaları Eşit Olan Kesirlerle Toplama İşlemi:

Paydaları eşit olan kesirler toplanırken; paylar toplamı paya yazılır.Ortak payda toplamın payda bölümüne aynen yazılır.

Tam sayılı kesirler toplanırken de;


Toplama İşleminin Özellikleri:
a. Değişme Özelliği:
Toplama işleminde toplanan terimlerin yeri değiştirilse de toplam değişmez.


b. Birleşme Özelliği:
Üç kesir toplamında ilk iki kesrin toplamı ile üçüncü kesrin toplamı son iki kesrin toplamı ile ilk kesrin toplamı birbirine eşittir.


KESİRLERLE ÇIKARMA İŞLEMİ

Paydaları Eşit Kesirlerle Çıkarma İşlemi:
Paydaları eşit olan kesirlerle çıkarma işlemi yapılırken; paylar çıkarılarak paya yazılır ortak olan payda da paydaya yazılır.



Tam sayılı kesirlerle çıkarma yapılırken tam sayılı kesir bileşik kesre çevrilerek işlem yapılır ya da aşağıdaki örnekteki yol izlenir.(Tam sayıdan bir bütün alınarak işlem yapılır.) Aşağıda verilen üç yolu da dikkatlice inceleyiniz.



Paydaları Eşit Olmayan Kesirlerle Çıkarma İşlemi:


Paydaları eşit olmayan kesirlerle çıkarma işlemi yaparken; önce paydalar eşitlenir sonra işlem yapılır.

KESİRLER

KESİRLER


Eş parçalara bölünmüş bir bütünün,eş parçalarından birini veya birkaçını ifade eden sayılara kesir sayısı denir.

Örn1: a,b ∈ N ve b ≠ 0 olmak üzere a/b bir kesirdir.

A’ya pay , b’ye ise payda denir.

KESİR BİRİMİ
Payı bir olan kesirlere kesir birimi denir.

Örn2:
- “1/2” kesri bir kesir birimidir.
- “1/2” kesri paydaları 2 olan kesirlerin birimidir.

DOĞAL SAYILARI KESİR SAYISI OLARAK GÖSTERME
Her doğal sayının 1’e bölünmesi,kendisine eşittir.Doğal sayılar paydasına 1 yazılarak kesir şeklinde gösterilebilir.

Örn3: “5” doğal sayısını kesir olarak yazalım.
5= 5/1

Örn4: “0” doğal sayısını kesir olarak yazalım.
0= 0/1

Örn5: “1089563248” doğal sayısını kesir olarak yazalım.
1089563248= 1089563248/1

1)KESİR ÇEŞİTLERİ
a) Basit Kesir
Payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.
Örn7: 5/19 , 89/500 , 189123/273747 ...

b)Bileşik Kesir
Payı paydasından büyük veya payı paydasına eşit olan kesirlere
bileşik kesir denir.
Örn8: 19/10 , 20/20 , 37529/12 , 20875/20875 ...

c)Tam Sayılı Kesir
Bir sayma sayısı ve bir basit kesir ile yazılan kesirlere,tam sayılı kesir denir.
Örn9:
 
2)KESİRLERİ SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME
Basit kesirleri sayı doğrultusunda gösterme

Basit kesirleri sıralarken sayı doğrusu bir bütün içinde ( 0 – 1 arası yada 1- 2 , 3 – 4 arası gibi ) 0 – 1 şeklinde sayı doğrusunda aralık alırız. 0 – 1 arasını payda kadar böleriz ve pay kadar sayarak gösteririz.

Örneğin : 5/7 kesrini sayı doğrusunda gösteriniz.
Cevap :

Bileşik kesirleri sayı doğrultusunda gösterme

Bileşik kesirleri sayı doğrusunda gösterirken kesir içinde kaç tane bütün var ise bütünleri paydadaki sayı kadar böleriz ve üstteki (pay) sayı kadar sayarak o noktayı gösteririz. Örneğin: 8/5 kesrini sayı doğrusunda gösteriniz.
Cevap :

Doğal Sayılarda Bölme İşlemi

             BÖLME İŞLEMİ

 
4x3= 12 veya 3x4 = 12 dir.
Çarpanlardan biri bilinmediğinde, çarpım diğer çarpana bölünerek bilinmeyen çarpan bulunur.
Bu işlem,
12 : 4 = 3 şeklinde gösterilir.
(bölünen) (bölen) (bölüm)

? x 4 = 28 işleminde verilmeyen çarpan;
28 : 4 = 7 şeklinde bulunur.

Çarpımı ve çarpanlarından biri verilen çarpma işleminde verilmeyen çarpanı bulmak için bölme işlemi yapılır. Bu nedenle çarpma ve bölme işlemleri birbiri ile ilgilidir. Kalanı sıfır olan bölme işlemine, kalansız bölme denir. Kalansız bir bölme işleminde,
Bölünen : Bölen = Bölüm veya Bölünen = Bölen x Bölüm

Kalanı sıfırdan farklı olan bölme işlemine, kalanlı bölme işlemi denir. Kalanlı bölme işleminde kalan, bölenden daima küçüktür. Kalanlı bölme işleminde,
Bölünen = ( Bölen x Bölüm ) + Kalan      BÖLME İŞLEMİNDE BÖLÜMÜ TAHMİN ETME
Bir bölme işleminde bölümü tahmin etmek için;
a) Bölen bir basamaklıysa, bölünenin yaklaşığını alır, sonra bölümü tahmin ederiz.
b) Bölen iki ya da daha fazla basamaklıysa, önce bölenin sonra da bölünenin yaklaşığını alır ve bölümü tahmin ederiz.
Bölümü tahmin etmek, bölme işleminde yapılan bazı hataları önler.
BÖLME İŞLEMİNDE BÖLÜMÜN BASAMAK SAYISINI TAHMİN ETME
Bir bölme işleminde bölümün basamak sayısını tahmin etmek için;
a) Bölünenin en büyük basamağındaki rakamın sayı değeri bölene eşit veya bölenden büyük ise, bölümün basamak sayısı, bölünenin basamak sayısı kadar olur.
b) Bölenin basamak sayısı birden fazla ise, bölünenden aynı sayıda basamak ayrılır ve bölüm için bir basamak düşünülür. Bölünenin geriye kalan basamak sayısına ayrılan 1 eklenerek bölümün basamak sayısı bulunur.

Doğal Sayılarda Çarpma İşlemi

DOĞAL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ:
   Bir sayıyı kendi kendisiyle başka bir sayı kadar toplama işlemine çarpma işlemi denir. İki doğal sayının çarpımı, yine bir doğal sayıdır.
Bir çarpma işleminde tekrarlı olarak toplanan ve toplananın kaç defa toplandığını belirten sayıya çarpan denir.
Çarpma işleminin sonucuna çarpım denir.
Çarpma işleminin birim elemanı 1′dir.
Çarpma işleminin yutan elemanı 0′dır.
Örnek
6 x 3
çarpma işleminin sonucunu bulmak için 3 tane 6 sayısının toplanması gerektiği anlaşılır. Buna göre sonuç;
6 x 3=6 + 6 + 6=18 olur.
Bu işlemde; 6 ve 3 sayıları çarpan, 18 sayısı ise çarpımdır.


ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
KAPALILIK ÖZELLİĞİ
İki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır. Bu özelliğe doğal sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır denir.

DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

Bir çarpma işleminde çarpanların yerleri değiştirilirse çarpım değişmez. Bu duruma çarpmanın değişme özelliği denir.

4 x 5 = 20 5 x 4 = 20 4 x 5 = 5 x 4'tür.
aD, bD için; a x b = b x a 'dır.

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ
Çarpma işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırılarak çarpılırsa çarpım değişmez. Bu özelliğe çarpma işleminin birleşme özelliği denir.

4D, 5D, 2D için
4 x (5 x 2) = (4 x 5) x 2 4 x 10=20 x 2; 40=40'tır.

ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN
Bir sayının 1 ile çarpımı kendisine eşittir. 1 sayısı çarpma işlemini etkilemez. 1 sayısına çarpma işleminin etkisiz (birim) elemanı denir.

1 x 5=5 5 x 1=5 5 x 1=1 x 5=5'dir.
aD için a x 1=1 x a=a 'dır.

YUTAN ELEMAN
Bir sayının sıfır ile çarpımı sıfıra eşittir. Bu nedenle 0 sayısına çarpma işleminde yutan eleman denir.

4 x 0=0 0 x 4=0 4 x 0=0 x 4=0 'dır.
aD için 0 x a=a x 0=0 'dır.


1. Değişme Özelliği
Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır. Doğal sayılarda çarpma işlemi yaparken çarpanların yerlerinin değişmesi sonucu değiştirmez.
Örnekler

Örnekler


2. Birleşme Özelliği
Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. Üç doğal sayı çarpılırken çarpanların herhangi ikisi önce çarpılırsa sonuç değişmez.
Örnek

Örnek


3. Etkisiz Eleman
Çarpma işleminin etkisiz elemanı 1′dir. Bir doğal sayının “1″ ile çarpımı sayının kendisine eşittir.
Örnek

Örnek

4. Yutan Eleman
Çarpma işleminin yutan elemanı “0″ dır. Bir doğal sayının “0″ ile çarpımı yine “0″ dır.
Örnek

Örnek

5. Çarpma işleminin Toplama ve Çıkarma işlemi Üzerine Dağılma Özelliği
Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
Örnek

Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
Örnek

Örnek

 

Doğal Sayılarda Çıkarma İşlemi

DOĞAL SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ:

    Doğal sayılarda çıkarma işlemi yapılırken aynı adlı basamaklar alt alta yazılır. Çıkarma işlemine birler basamağından başlanır ve sırayla devam edilir.
Çıkarma işleminde eksilendeki rakamın sayı değeri, çıkandaki rakamın sayı değerinden küçük ise bir sonraki basamaktan 1 onluk alınır. Bu işleme onluk bozma denir. Ayrıca doğal sayılarda zihinden çıkarma işlemi yapılabilir.

A = {a,b,c,d,e} B = {d,e}
s(A) = 5 ve s(B) = 2 dir.
s(A) - s(B) = s(C)
5 - 2 = 3 olarak gösterilir. Burada 5 : eksilen; 2 : çıkan 3 : fark olarak adlandırılır.

B A ise A - B kümesinin eleman sayısına A ve B kümelerinin eleman sayılarının farkı denir. Bu farkı bulmak için yapılan işleme çıkarma işlemi adı verilir.

Çıkarma geriye doğru saymanın kısa yapılışıdır. Sağlaması; a-b=c ise a=b + c olacak şekilde yapılır. Çıkarma işlemi toplamanın tersidir.

ÇIKARMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
Kapalılık özelliği yoktur. 5D ve 6D için; 5-6 doğal sayı değildir.
Değişme özelliği yoktur. 6D ve 2D için; 6-2=4D; 2-6 doğal sayı değildir.
Birleşme özelliği yoktur. 7-(5-2) (7-5)-2 7-3 2-2 4 0
Doğal sayılar kümesinde çıkarma işlemine göre etkisiz (birim) eleman yoktur. 3-0=3 olmakla beraber 0-3 3'tür


BAKALIM ARDA VE ARKADAŞI ÇIKARMA
                                                          NASIL YAPTILAR ?

Doğal Sayılarda Toplama İşlemi

DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ

Doğal sayılar kümesinde toplama işlemi, eldeli toplama işlemi ve eldesiz toplama işlemi olarak iki bölümde incelenir.
İki doğal sayı toplanırken basamak basamak işlem yapılır. Birler basamağındaki sayıların toplamı birler basamağına, onlar basamağındaki sayıları toplamı onlar basamağına, yüzler basamağındaki sayıların toplamı yüzler basamağına yazılır ve bu şekilde devam edilir. Buna eldesiz toplama işlemi denir.
Eğer, doğal sayılarla toplama işlemi yapılırken birliklerin toplamından onluk oluşuyorsa, buradaki onlukları ayrılır ve onlar basamağındaki onluklarla, onlukların toplamından oluşan yüzlük ayrılıp yüzler basamağındaki yüzlüklerle toplanır. Bu biçimde toplama işlemine devam edilir. Buna da eldeli toplama işlemi denir.
Doğal sayılarda toplama işleminin birim elemanı 0′dır. Her sayının 0 ile toplamı, sayının kendisini verir.

     Toplama işlemi ileri doğru sayma işlemidir. Toplama işlemine katılan sayılara terim, işlemin sonucuna toplam denir. Toplama işlemi sayıların aynı basamakları arasında yapılır. Bu nedenle toplama işleminde sayılar aynı basamaklar alt alta gelecek şekilde yapılır.
Doğal sayılarda toplama aşağıdaki cebirsel kurallara uyar:

• Toplamsal birim öğe:

a + 0 = a

• Toplamanın değişme özelliği:

a + b = b + a

• Toplamanın birleşme özelliği:

(a + b) + c = a + (b + c)

• Toplamanın çarpma üzerine dağılma özelliği (sağdan dağılma):

(a + b)c = ac + bc

Bir a sayısını bir b sayısıyla toplamak, a sayısının b kere ardılını almak olarak tanımlanır. Daha matematiksel bir tanım verilmek istenirse gösterimi n sayısının ardılını ifâde etmek üzere, toplama aşağıdaki belitlerle tanımlanır:

1. 
2. 

Bu belitlerden yola çıkarak ardıllık işlemini toplama cinsinden göstermek mümkündür: 2. belitte b=0 seçilirse

sıfırın adrılı birdir, o halde,

     olduğu kolaylıkla görülür.

                                                   

                                                                     

                                  ŞİMDİ DE  ÖĞRENDİKLERİMİZİ
                                   ÖNEKLERLE  PEKİŞTİRELİMM :)     




        ELDESİZ TOPLAMA İŞLEMİNE ÖRNEKLER:

Problem:Bir yumurtacı pazarda; öğleden önce 2563 öğleden sonra 2234 yumurta sattı.Bu yumurtacı o gün kaç yumurta satmıştır.?
                                                                               
                                                                                     BN Y O B
                                                                                     2    5  6  3

2 binlik+5 yüzlük+6 onluk+3birlik______                 2    2  3   4
                                                                                +_____________
2 binlik+2 yüzlük+3onluk+4birlik______                  4    7   9  7   yumurta satmıştır.



ELDELİ TOPLAMA İŞLEMİNE ÖRNEKLER:

Problem:İki sandıktan 386,diğerinde 478 elma vardır.Bu iki sandıkta toplam kaç elma vardır?
         
                yüzler b.  onlar b.   birler b


                     3              8            6
                   
                    4              7            8  
           + ___________________________

                   7               15            14
                               /                  /

                  8            6                4 elma vardır.     
                                            

 






Problem:

ÇÖZÜM:    1.Gün:32
                    2.Gün:33
                    3.Gün:34
                    4.Gün:35
                    5.Gün:36
            +  __________________                
                            200   sayfa kitap okumuştur.
                       

sketchup ile çizgi roman hazırlama